如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分別在線段上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4.

(1)求證:BC⊥AC1;
(2)試探究:在AC上是否存在點(diǎn)F,滿足EF//平面A1ABB1,若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)F的位置,并給出證明;若不存在,說明理由.

(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析.

解析試題分析:本題主要以三棱柱為幾何背景考查線線垂直,線面垂直、線面平行、面面平行等數(shù)學(xué)知識(shí),考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.第一問,由于AA1⊥面ABC,所以利用線面垂直的性質(zhì)得垂直面內(nèi)的線BC,而,利用線面垂直的判定得,所以BC垂直于面內(nèi)的線;第二問,法一:先找到F點(diǎn)的位置,再證明,作出輔助線,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/2/1exjj2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以得到,而,即,所以,所以四邊形AFEG為平行四邊形,所以,所以利用線面平行的判定得平面;法二:作出輔助線,利用線面平行的判定,可以推斷出平面平面,利用面面平行的判定,得面平面,所以得平面.
試題解析:(1)∵AA1⊥面ABC,BC?面ABC,
∴BC⊥AA1.(1分)
又∵BC⊥AC,AA1,AC?面AA1C1C,AA1∩AC=A,∴BC⊥面AA1C1C,(3分)
又AC1?面AA1C1C,∴BC⊥AC1.(4分)

(2)(法一)當(dāng)AF=3FC時(shí),F(xiàn)E∥平面A1ABB1.(7分)
理由如下:在平面A1B1C1內(nèi)過E作EG∥A1C1交A1B1于G,連結(jié)AG.
∵B1E=3EC1,∴,
又AF∥A1C1,
∴AF∥EG且AF=EG,
∴四邊形AFEG為平行四邊形,∴EF∥AG,(10分)
又EF?面A1ABB1,AG?面A1ABB1,∴EF∥平面A1ABB1.(12分)
(法二)當(dāng)AF=3FC時(shí),F(xiàn)E∥平面A1ABB1.(9分)
理由如下:在平面BCC1B1內(nèi)過E作EG∥BB1交BC于G,連結(jié)FG.

∵EG∥BB1,EG?面A1ABB1,BB1?面A1ABB1,
∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E=3EC1,∴BG=3GC,
∴FG∥AB,又AB?面A1ABB1,F(xiàn)G?面A1ABB1,
∴FG∥平面A1ABB1.
又EG?面EFG,F(xiàn)G?面EFG,EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面A1ABB1.(11分)
∵EF?面EFG,∴EF∥平面A1ABB1.(12分)
考點(diǎn):1. 線線垂直的判定;2.線面垂直的判定;3.線面平行的判定;4.面面平行的判定.

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