Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x，0≤x＜1}\\{{{（\frac{1}{3}）}^x}-1，-1≤x＜0}\end{array}}$且對任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在區(qū)間[-1，5）上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有4個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{4}}]$
• B． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{0，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 先確定2是f（x）的周期，作出函數(shù)的圖象，利用在區(qū)間[-1，5]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有4個不同零點，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵對任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1）
∴f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）的最小正周期為2，
畫出y=f（x）（-1≤x≤5）的圖象和直線y=mx+m，
由x=1時，f（1）=1，可得1=m+m，
則m=$\frac{1}{2}$；
由x=3時，f（3）=1，可得1=3m+m，
則m=$\frac{1}{4}$．
∴在區(qū)間[-1，5]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有4個不同零點時，
實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查數(shù)形結(jié)合和函數(shù)方程轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．