Question

8．如圖，已知線段AC為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，切點為A，B為⊙O上一點，且BC∥PO．
（I）求證：PB為⊙O的切線
（Ⅱ）若⊙O的半徑為1，PA=3，求BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OB，由圓周角與圓心角的關系和兩直線平行的性質，證得△AOP≌△BOP，再由圓的切線的定義，即可得證；
（Ⅱ）連接AB，由（Ⅰ）可得△PAO∽△ABC，由相似三角形的性質，可得對應邊成比例，結合勾股定理，即可得到所求值．

解答 證：（Ⅰ）連接OB，∵$∠BCA=\frac{1}{2}∠AOB$=∠BOP，
又∵BC∥PO，∴∠POA=∠BCA，
∴∠AOP=∠BOP，又∵OA=OB，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠OAP=∠OBP，
∴∠OBP=90°．
可得PB為⊙O的切線；
解：（Ⅱ）連接AB，線段AC為⊙O的直徑，
可得△ABC為直角三角形．
由∠PAO=∠ABC=90°，∠POA=∠BCA，
可得△PAO∽△ABC，
則$\frac{BC}{OA}=\frac{AC}{OP}$，
又PA為⊙O的切線，可得△PAO為直角三角形，
⊙O的半徑為1，PA=3，可得AC=2，OP=$\sqrt{O{A}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
則BC=$\frac{OA•AC}{OP}$=$\frac{1×2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查圓的切線的性質、圓周角與圓心角的關系、相似（全等）三角形的判定和性質和勾股定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．