Question

17．已知函數(shù)f（x）=alnx-bx³，a，b為實數(shù)，b≠0，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828．
（1）當(dāng)a＜0，b=-1時，設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的最大值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在區(qū)間（1，e]上有兩個不同的實數(shù)解，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出g（a）的最大值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y₁=$\frac{a}$的圖象與函數(shù)m（x）=$\frac{{x}^{3}}{lnx}$的圖象有2個不同的交點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出$\frac{a}$的范圍即可．

解答 解：（1）b=-1時，f（x）=alnx+x³，則f′（x）=$\frac{a+{3x}^{3}}{x}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\root{3}{-\frac{a}{3}}$，∵a＜0，∴$\root{3}{-\frac{a}{3}}$＞0，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（0，$\root{3}{-\frac{a}{3}}$）	$\root{3}{-\frac{a}{3}}$	（$\root{3}{-\frac{a}{3}}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

故g（a）=f（$\root{3}{-\frac{a}{3}}$）=$\frac{a}{3}$ln（-$\frac{a}{3}$）-$\frac{a}{3}$，
令t（x）=-xlnx+x，則t′（x）=-lnx，令t′（x）=0，解得：x=1，
且x=1時，t（x）有最大值1，
故g（a）的最大值是1，此時a=-3；
（2）由題意得：方程alnx-bx³=0在區(qū)間（1，e]上有2個不同的實數(shù)根，
故$\frac{a}$=$\frac{{x}^{3}}{lnx}$在區(qū)間（1，e]上有2個不同是實數(shù)根，
即函數(shù)y₁=$\frac{a}$的圖象與函數(shù)m（x）=$\frac{{x}^{3}}{lnx}$的圖象有2個不同的交點，
∵m′（x）=$\frac{{x}^{2}（3lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，令m′（x）=0，得：x=$\root{3}{e}$，
x，m′（x），m（x）的變化如下：

x	（1，$\root{3}{e}$）	$\root{3}{e}$	（$\root{3}{e}$，e]
m′（x）	-	0	+
m（x）	遞減	3e	遞增

∴x∈（1，$\root{3}{e}$）時，m（x）∈（3e，+∞），x∈（$\root{3}{e}$，e]時，m（x）∈（3e，e³]，
故a，b滿足的關(guān)系式是3e＜$\frac{a}$≤e³，
即$\frac{a}$的范圍是（3e，e³]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．