Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，且經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若角α滿足f（α）+$\sqrt{3}$f（α-$\frac{π}{2}$）=1，α∈（0，π），求α值．

Answer 1

分析 （1）由條件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可求Asin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得A=1，即可得解函數(shù)解析式．
（2）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得sin$α=\frac{1}{2}$．結(jié)合范圍α∈（0，π），即可得解α的值．

解答 解：（1）由條件，周期T=2π，即$\frac{2π}{ω}$=2π，所以ω=1，即f（x）=Asin（x+$\frac{π}{3}$）．
因?yàn)閒（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），所以Asin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴A=1，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由f（α）+$\sqrt{3}$f（α-$\frac{π}{2}$）=1，得sin（α+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=1，
即sin（α+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（α+$\frac{π}{3}$）=1，可得：2sin[（$α+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=1，即sin$α=\frac{1}{2}$．
因?yàn)棣痢剩?，π），解得：α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．