Question

已知在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x²+y²=-2y+3，直線l經(jīng)過點（1，0）且與直線x-y+1=0垂直，若直線l與圓C交于A，B兩點，則△OAB的面積為（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,三角形的面積公式

專題：計算題,直線與圓

分析：將圓C化成標準方程，得到圓心為C（0，-1）、半徑為2．由垂直的兩直線斜率的關系算出直線l的斜率為1，可得l的方程為x+y-1=0，進而算出圓心C到l的距離d=

2

，再根據(jù)垂徑定理算出l被圓C截得的弦長|AB|=2

2

．最后由點到直線的距離公式算出原點O到AB的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可算出△OAB的面積．

解答： 解：∵圓C的方程為x²+y²=-2y+3，∴化成標準方程，可得x²+（y+1）²=4，
由此可得圓的圓心為C（0，-1）、半徑為2．
∵直線x-y+1=0的斜率為1且與直線l垂直，直線l經(jīng)過點（1，0），
∴直線l的斜率為k=-1，可得直線l的方程為y=-（x-1），即x+y-1=0．
因此，圓心C到直線l的距離d=

|0-1-1|

2

=

2

．
∴直線l被圓C截得的弦長|AB|=2

r2-d2

=2

4-2

=2

2

，
又∵坐標原點O到AB的距離為d'=

|0+0-1|

2

=

2

2

，
∴△OAB的面積為S=

1

2

|AB|×d'=

1

2

×2

2

×

2

2

=1．
故選：A

點評：本題給出滿足條件的直線與圓，求直線被圓截得的弦AB與原點O構(gòu)成三角形的面積．著重考查了點到直線的距離公式、直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．