Question

13．已知f（x）=e^x+ax（a∈R）
（ I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ II）已知常數(shù)a＞-e，求證：對(duì)于?x∈（1，+∞），都有f（x）＞（x-1）²恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-（x-1）²=e^x+ax-x²+2x-1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)h（x）=e^x+a-2x+2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+a（1分）
當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閒'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單增，（2分）
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得x=ln（-a），
f（x）在（-∞，ln（-a））上單減，在（ln（-a），+∞）上單增，
綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，減區(qū)間為（-∞，ln（-a）），增區(qū)間為（ln（-a），+∞）．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)g（x）=f（x）-（x-1）²=e^x+ax-x²+2x-1，g'（x）=e^x-2x+a+2，（6分）
設(shè)h（x）=e^x+a-2x+2，∵h(yuǎn)'（x）=e^x-2＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，（8分）
∵h(yuǎn)（x）＞h（1）=e+a＞0，∴g'（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
即g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，（10分）
∴g（x）＞g（1）=e+a＞0，所以對(duì)?x∈（1，+∞），都有f（x）＞（x-1）²恒成立．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，考查學(xué)生解決問題的綜合能力．