Question

8．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，若$∠PAQ=\frac{π}{3}$，且$|PQ|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，則雙曲線C的漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．

Answer 1

分析 利用雙曲線的漸近線以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查方程然后求解即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，若$∠PAQ=\frac{π}{3}$，且$|PQ|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
可得（a，0）到直線bx-ay=0的距離$d=\frac{|ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
解得：$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
雙曲線的漸近線方程為：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．
給答案為：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．

點(diǎn)評 本題主要考查點(diǎn)到直線距離及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．