Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD=4，BD=8，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2DC=4$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）設(shè)M是線段PC上的一點，證明：平面BDM⊥平面PAD
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由AD²+BD²=AB²，可得∠ADB=90°．又平面PAD⊥平面ABCD，可得BD⊥平面PAD，夾角證明．
（Ⅱ）過P作PO⊥AD交AD于O，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：PO⊥平面ABCD．即線段PO為四棱錐P-ABCD的高，利用梯形的面積計算公式可得梯形ABCD的面積為S．即可得出V_P-ABCD．

解答 （Ⅰ）證明：在△ABD中，AD=4，BD=8，AB=4$\sqrt{5}$，
∵AD²+BD²=AB²，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：過P作PO⊥AD交AD于O，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴線段PO為四棱錐P-ABCD的高，
在四邊形ABCD中，∵AB∥DC，AB=2DC，
∴四邊形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
即梯形ABCD的高為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，…（10分）
∴梯形ABCD的面積為S=$\frac{2\sqrt{5}+4\sqrt{5}}{2}×\frac{8\sqrt{5}}{5}$=24．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×24×2\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．