Question

7．某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的．[附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；
（2）試估計(jì)該公司投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；
（3）該公司按照類似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬(wàn)元）	1	2	3	4	5
銷售收益y（單位：萬(wàn)元）	2	3	2		7

由表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將（2）的結(jié)果填入空白欄，并求出y關(guān)于x的回歸直線方程．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1，建立方程，即可求得結(jié)論；
（2）利用組中值，求出對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值；
（3）利用公式求出b，a，即可計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程．

解答 解：（1）設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為m，由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積總和為1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）•m=0.5m=1，故m=2，即圖中各小長(zhǎng)方形的寬度為2．…（3分）
（2）由（1）知各小組依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，
其中點(diǎn)分別為1，3，5，7，9，11，
對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
故可估計(jì)平均值為1×0.16+3×0.2+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5．…（7分）
（3）由（2）可知空白欄中填5．
由題意可知，$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3，\overline{y}=\frac{2+3+2+5+7}{5}=3.8$，$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=1×2+2×3+3×2+4×5+5×7=69$，$\sum_{i=1}^5x_i^2={1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}=55$，
根據(jù)公式，可求得$\hat b=\frac{69-5×3×3.8}{{55-5×{3^2}}}=\frac{12}{10}=1.2$，…（10分）$\hat a=3.8-1.2×3=0.2$，…（11分）
所以所求的回歸直線方程為y=1.2x+0.2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出這組變量是線性相關(guān)的，進(jìn)而正確運(yùn)算求出線性回歸方程的系數(shù)，本題是一個(gè)中檔題．