Question

7．點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=$\sqrt{6}$，∠ABC=90°，若四面體ABCD體積的最大值為3，則這個(gè)球的表面積為（　�。�

• A． 2π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積

解答 解：根據(jù)題意知，直角三角形△ABC的面積為3．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為為$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=3，
即$\frac{1}{3}$×3×DQ=3，∴DQ=3，如圖．設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=（$\sqrt{3}$）²+（3-R）²，∴R=2，
則這個(gè)球的表面積為：S=4π×2²=16π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想思想，是中檔題．