Question

12．已知函數(shù)$f（x）=ax-\frac{x}-2lnx$，對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0，都有$f（x）=-f（\frac{1}{x}）$成立．
（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥1，函數(shù)f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}$，n≥2，n∈N₊．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0，都有$f（x）=-f（\frac{1}{x}）$成立，得出$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx$，求導(dǎo)數(shù)，利用對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥1，函數(shù)f（x）≥0恒成立，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明$\frac{1}{{{n^2}-1}}+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$，所以$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$，即可證明：$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}$，n≥2，n∈N₊．

解答 （Ⅰ）解：∵$f（x）=-f（\frac{1}{x}）$，∴$（a-b）（x+\frac{1}{x}）=0$，即得a=b┅┅┅┅┅┅1分
$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx$，$f'（x）=a（1+\frac{1}{x^2}）-\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}-2x+a}}{x^2}$┅┅┅┅┅┅2分
當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤≥1，所以f'（x）＜0，f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（2）＜f（1）=0與f（x）≥0不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
當(dāng)a＞0時(shí)，令g（x）=ax²-2x+a，△=4-4a²，
若△≤0，即a≥1時(shí)，g（x）≥0，f'（x）≥0，f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增．f（x）≥f（1）=0成立┅┅┅┅┅4分
若△＞0，即0＜a＜1時(shí)，設(shè)g（x）的零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{2}{a}＞0$，x₁x₂=1．所以有0＜x₁＜1＜x₂．
則當(dāng)x∈（1，x₂）時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在x∈（1，x₂）上單調(diào)遞減，f（x）＜f（1）=0與f（x）≥0不符，（舍）．┅┅┅┅┅┅┅┅5分
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=（x-\frac{1}{x}）-2lnx≥0$恒成立．
即$x-\frac{1}{x}≥2lnx$（x≥1），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
令$x=\frac{n^2}{{{n^2}-1}}（n＞1，n∈{N_+}）$
則有$\frac{n^2}{{{n^2}-1}}-\frac{{{n^2}-1}}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{{n^2}-1}}$，即$\frac{1}{{{n^2}-1}}+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$┅┅┅┅┅┅10分
所以$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$
迭加有$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}$┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
所以$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$
故$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}$成立．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．