Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的一條漸近線與直線2x+y-3=0垂直，則該雙曲線的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程計算可得其漸近線方程為y=±$\frac{x}{a}$，進而由直線垂直的性質分析可得有$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，解可得a的值，由雙曲線的幾何性質可得c的值，進而有雙曲線的離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，則其漸近線方程為y=±$\frac{x}{a}$，
又由雙曲線的一條漸近線與直線2x+y-3=0即y=-2x+3垂直，
則有$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，
即a=2，
又由b=1，則c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵掌握雙曲線的漸近線方程．