Question

16．設(shè)G是△ABC的重心，點E是AG的中點，若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BG}$•$\overrightarrow{CG}$=-1，則$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值是（　�。�

• A． -$\frac{7}{8}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{13}{8}$

Answer 1

分析 延長AG交BC于D，得出點G、E是AD的三等分點，D是BC的中點；用$\overrightarrow{DG}$、$\overrightarrow{BD}$表示出$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BG}$和$\overrightarrow{CG}$，根據(jù)數(shù)量積的定義列出方程組求出${\overrightarrow{DG}}^{2}$和${\overrightarrow{BD}}^{2}$的值，再計算$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值．

解答 解：延長AG交BC于D，如圖所示，

G是△ABC的重心，點E是AG的中點，
∴$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{GE}$=$\overrightarrow{EA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$，
$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=-$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=（$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$）•（-$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DG}$）=9${\overrightarrow{DG}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=4①，
又$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$，
$\overrightarrow{CG}$=$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DG}$=-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$，
∴$\overrightarrow{BG}$•$\overrightarrow{CG}$=（$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$）•（-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DG}$）=${\overrightarrow{DG}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=-1②，
由①②組成方程組，解得${\overrightarrow{DG}}^{2}$=$\frac{5}{8}$，${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{13}{8}$；
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$=（$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DE}$）
=（$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DG}$）•（-$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DG}$）
=4${\overrightarrow{DG}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$
=4×$\frac{5}{8}$-$\frac{13}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算和線性運算問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思想，是中檔題．