Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 、 ，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為 、 ，且四邊形 是邊長(zhǎng)為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；
（2）若 、 分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，連接 ，交橢圓于點(diǎn) ．證明： 為定值．
（3）在（2）的條件下，試問 軸上是否存異于點(diǎn) 的定點(diǎn) ，使得以 為直徑的圓恒過直線 、 的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∴ 橢圓方程為： ．

（2）解：∵ ，∴設(shè) ，則直線 的方程為： ，

，

解設(shè)： 或 （舍去），

，∴ ，從而 ，

∴

（3）解：設(shè) ，若以 為直徑的圓過 與 的交點(diǎn)即直線 ，

直線 的斜率 ，直線 的斜率 ，

所以 ，即 ，

∴ ，即

【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系分別求出a、b的值進(jìn)而求出橢圓的方程。(2)由已知利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線MC的方程，聯(lián)立橢圓和直線的方程消去y得到的關(guān)于x的方程，解出點(diǎn)P和點(diǎn)M的坐標(biāo)由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得到定值為4。(3)根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用直徑所對(duì)的圓心角為直角得出垂直的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積等于零，即可解得Q點(diǎn)的坐標(biāo)。

【考點(diǎn)精析】掌握橢圓的概念是解答本題的根本，需要知道平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．