Question

11．高二學生即將升入高三，高三學生參加高校自主招生考試是升入理想大學的一條途徑．甲、乙、丙三位同學一起參某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該校的預錄取生（可在高考中加分錄�。�，兩次考試過程相互獨立，根據(jù)甲中、乙、丙三位同學的平時成績分析，甲，乙，丙三位同學能通過筆試的概率分別是$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{5}$；能通過面試的概率分別是$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$．
（1）求甲、乙、丙三位同學恰有兩位通過筆試的概率；
（2）設甲、乙、丙三位同學各自經(jīng)過兩次考試后，能被該高校錄取的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）分別記“甲、乙、丙三位同學通過筆試”為事件A，B，C，事件E表示“甲、乙、丙三位同學恰有兩位通過筆試”，利用對立事件概率計算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三位同學恰有兩位通過筆試的概率．
（2）“甲乙丙三位同學各自經(jīng)過兩次考試后能被錄取”分別記為事件D，E，F(xiàn)，由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

解答 解：（1）分別記“甲、乙、丙三位同學通過筆試”為事件A，B，C，
事件E表示“甲、乙、丙三位同學恰有兩位通過筆試”，
則甲、乙、丙三位同學恰有兩位通過筆試的概率：
P（E）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{5}$
=$\frac{7}{30}$．
（2）“甲乙丙三位同學各自經(jīng)過兩次考試后能被錄取”分別記為事件D，E，F(xiàn)，
則P（D）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$，P（E）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，P（F）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
由題意X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=P（$\overline{D}\overline{E}\overline{F}$）=$\frac{14}{15}×\frac{7}{8}×\frac{9}{10}$=$\frac{882}{1200}$，
P（X=1）=P（$D\overline{E}\overline{F}$+$\overline{D}E\overline{F}$+$\overline{D}\overline{E}F$）=$\frac{1}{15}×\frac{7}{8}×\frac{9}{10}$+$\frac{14}{15}×\frac{1}{8}×\frac{9}{10}$+$\frac{14}{15}×\frac{7}{8}×\frac{1}{10}$=$\frac{287}{1200}$，
P（X=2）=P（$DE\overline{F}$+D$\overline{E}F$+$\overline{D}EF$）=$\frac{1}{15}×\frac{1}{8}×\frac{9}{10}+\frac{1}{15}×\frac{7}{8}×\frac{1}{10}+\frac{14}{15}×\frac{1}{8}×\frac{1}{10}$=$\frac{30}{1200}$，
P（X=3）=P（DEF）=$\frac{1}{15}×\frac{1}{8}×\frac{1}{10}$=$\frac{1}{1200}$，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{882}{1200}$	$\frac{287}{1200}$	$\frac{30}{1200}$	$\frac{1}{1200}$

數(shù)學期望E（X）=$0×\frac{882}{1200}+1×\frac{287}{1200}+2×\frac{30}{1200}+3×\frac{1}{1200}$=$\frac{7}{24}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．