Question

某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．

(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；
(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．

Answer 1

（1）當(dāng)長為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，總造價(jià)最低為38 880元
（2）當(dāng)長為16米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，總造價(jià)最低為38 882元．

(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米．
則總造價(jià)f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960
＝1 296(x＋)＋12 960
≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x>0)，即x＝10時(shí)取等號．
∴當(dāng)長為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，總造價(jià)最低為38 880元．
(2)由限制條件知，∴10≤x≤16，
設(shè)g(x)＝x＋(10≤x≤16)，
g(x)在上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x＝10時(shí)（此時(shí)），
g(x)有最小值，即f(x)有最小值，
即為1 296×＋12 960＝38 882元．
∴當(dāng)長為16米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，總造價(jià)最低為38 882元．