Question

18．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角），曲線C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+5=0
（1）若直線l與曲線C相切，求α的值；
（2）設曲線C上任意一點為P（x，y），求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+5=0，利用互化公式可得：曲線C的直角坐標方程直線l的直角坐標方程為xsinα-ycosα+sinα=0，利用點到直線的距離公式及其直線與曲線相切的充要條件即可得出．
（2）設x=3+2cosθ，y=2sinθ．可得x+y=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$+3，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+5=0，
可得曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-6x+5=0，配方為：（x-3）²+y²=4，
直線l的直角坐標方程為xsinα-ycosα+sinα=0，
由直線與曲線相切得：$\frac{|3sinα+sinα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+（-cosα）^{2}}}$=2，
所以|sinα|=$\frac{1}{2}$，
因為α∈[0，π），所以α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
（2）設x=3+2cosθ，y=2sinθ．
則x+y=3+2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$+3∈$[3-2\sqrt{2}，3+2\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應用、點到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．