Question

13．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁D₁中點(diǎn)，則BM與AN所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{15}{17}$
• B． $\frac{16}{17}$
• C． $\frac{5}{13}$
• D． $\frac{12}{13}$

Answer 1

分析 取B₁C₁的中點(diǎn)P，連結(jié)BP，MP，則∠MBP是BM與AN所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出BM與AN所成的角的余弦值．

解答 解：取B₁C₁的中點(diǎn)P，BP，MP，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁D₁中點(diǎn)，
∴AN∥BP，
∴∠MBP是BM與AN所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
BM=BP=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，MP=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠MBP=$\frac{B{M}^{2}+B{P}^{2}-M{P}^{2}}{2BM•BP}$=$\frac{\frac{17}{4}+\frac{17}{4}-\frac{2}{4}}{2×\frac{\sqrt{17}}{2}×\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{16}{17}$．
∴BM與AN所成的角的余弦值為$\frac{16}{17}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．