如圖,四棱柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點,平面.

(Ⅰ)證明:平面平面；
(Ⅱ)若,試求異面直線與所成角的余弦值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的余弦值.

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

解析試題分析：(Ⅰ)證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直問題，即某一個平面中的某條直線垂直于另一個平面.然后將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題，即該直線與平面中的兩條相交直線垂直.在本題中，我們選取的是平面中的直線，因為易知，那么只需要在平面再找一條直線垂直于即可.因為底面是平行四邊形,且,,,為的中點，所以可以證，從而得證；(Ⅱ)求異面直線所成角，一般將兩條異面直線平移到一個公共點上以便求出其夾角.這里，我們選擇將直線平移至點，所以需要取的中點,連接，易知即所求，將其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通過建立空間直角坐標系用向量來解決.其中前兩問又可以用向量來解決.第一問的面面垂直可以用兩個平面的法向量垂直來證明，即法向量的數(shù)量積為0，第二問用向量的夾角公式直接解出（需注意異面直線角的范圍）.二面角同樣可以用兩個半平面的法向量的夾角解決，不過這里要注意所求的二面角是銳角還是鈍角，從而選擇是法向量夾角還是其補角為所求.
試題解析：(Ⅰ)依題意,,
所以是正三角形,
又 
所以,     2分
因為平面,平面,所以     3分
因為,所以平面     4分
因為平面,所以平面平面      5分
(Ⅱ)取的中點,連接、,連接,則
所以是異面直線與所成的角      7分
因為,,
所以,, 
所以     9分
解法2：以為原點，過且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立右手空間直角坐標系.

設(shè)
則，，
(Ⅰ)設(shè)平面的一個法向量為，
則
，取

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐中，底面是個邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且，是的中點.

（I）證明：平面；
（II）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓上的點．

（1）求證：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為的正三角形，，為的中點，為的中點．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．

（Ⅰ）求證: 平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,四棱錐的底面是正方形,棱底面,,是的中點．

(1)證明平面；
(2)證明平面平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形為矩形，平面⊥平面，，為上的一點，且⊥平面．

（1）求證：⊥；
（2）求證：∥平面．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點，點在上，且.

(Ⅰ)求證：平面平面；
(Ⅱ)求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四邊形為梯形，， ，四邊形為矩形，且平面平面，，點為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．

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