Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+ax+21

x+1

 (a∈R)，若對(duì)于任意的x∈N₊，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵x∈N^*，
∴f（x）≥3恒成立，即x²+ax+21≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-18+3x，又x∈N^*，
∴a≥-x-

18

x

+3恒成立，
令g（x）=-

18

x

-x+3（x∈N^*），
∴a≥g（x）_max，
∵g（x）在（0，3

2

]上單調(diào)遞增，在[3

2

，+∞）上單調(diào)遞減，而x∈N^*，
∴g（x）在x取距離3

2

較近的整數(shù)值時(shí)達(dá)到最小，而距離3

2

較近的整數(shù)為4和5，
∵g（4）=-

11

2

，g（5）=-

28

5

，
∴g（4）＞g（5），
∴當(dāng)x∈N^*時(shí)，g（x）_max=-

11

2

，
∴a≥-

11

2

，
故答案為：[-

11

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立，將參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的根據(jù)，要求熟練掌握基本不等式的應(yīng)用．