Question

5．復數(shù)z的共軛復數(shù)為$\overline z$，若$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$為純虛數(shù)，則|z|=（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設z=a+bi，則$\overrightarrow{z}$=a-bi，化簡$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$，再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得到a²+b²=1

解答 解：設z=a+bi，則$\overrightarrow{z}$=a-bi，
∴z•$\overrightarrow{z}$=a²+b²，
∴$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$=$\frac{1-i}{{a}^{2}+^{2}+i}$=$\frac{（1-i）（{a}^{2}+^{2}-i）}{{（a}^{2}+^{2}）^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-1+（{a}^{2}+^{2}+1）i}{（{a}^{2}+^{2}）^{2}+1}$，
∵$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$為純虛數(shù)，
∴a²+b²=1，
∴|z|=1，
故選：D

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念．屬于基礎題．