Question

18．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是冷BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在冷CC₁上，且CF=2FC₁，P是側(cè)面四邊形BCC₁B₁內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）．若A₁P∥平面AEF，則線段
A₁P長(zhǎng)度的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{29}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{29}}}{5}，\frac{{\sqrt{13}}}{3}}]$
• C． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{13}}}{3}}]$
• D． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}]$

Answer 1

分析 取棱B₁C₁的中點(diǎn)N，在BB₁上取點(diǎn)M，使B₁M=2BM，連接MN，易證平面A₁MN∥平面AEF，由題意知點(diǎn)P必在線段MN上，由此可判斷P在M處時(shí)A₁P最長(zhǎng)，A₁P⊥MN時(shí)最短，通過(guò)解直角三角形即可求得．

解答 解：如下圖所示：
取棱B₁C₁的中點(diǎn)N，在BB₁上取點(diǎn)M，使B₁M=2BM，連接MN，連接BC₁，
∵N、E為所在棱的中點(diǎn)，B₁M=2BM，CF=2FC₁
∴四邊形MNFE為平行四邊形，∴MN∥EF
∴A₁N∥AE，又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一點(diǎn)，且A₁P∥平面AEF，
則P必在線段MN上，AM=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，MN=$\frac{5}{6}$'
在△A₁MN中，由余弦定理求得cos∠MA_1N=$\frac{6}{\sqrt{65}}$，⇒sin∠MA_1N=$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{65}}$．
由面積相等得MN•h=A₁M•A₁Nsin∠MA₁N⇒h=$\frac{\sqrt{29}}{5}$，
則線段A₁P長(zhǎng)度的取值范圍是[$\frac{\sqrt{29}}{5}，\frac{\sqrt{13}}{3}$]
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找P點(diǎn)位置．