Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$，
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）x的取值需滿足2^x-1≠0，則x≠0，
即f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）由（1）知定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則f（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）+f（-x）
=$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{-{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$+1=-1+1=0．
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)定義域和奇偶性的判斷，根據(jù)奇偶性的定義結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．