Question

6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知A為銳角，且bsinAcosC+csinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
（1）求角A的大��；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=tanAsinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx（ω＞0），其圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{24}$，$\frac{π}{4}$]上值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA，由于sinA≠0，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，結(jié)合A的范圍即可得解A的值．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由已知可求T，利用周期公式可求ω，利用三角函數(shù)平移變換可求g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求g（x）的值域．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵bsinAcosC+csinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA，
∵A為銳角，sinA≠0，
∴sinBcosC+sinCcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sin（B+C）=sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，可得：tanA=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵其圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，可得：T=2×$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{24}$，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)平移變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．