Question

6．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓E的頂點四邊形的面積為16．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的頂點P（0，b）的直線l交橢圓于另一點M，交x軸于點N，若|PN|、|PM|、|MN|成等比數列，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：2ab=16，橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{c^2}={a^2}-{b^2}$，則a=2b，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）直線l的斜率不存在時，|PM|²≠|PN|•|MN|，不合題意，直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓的標準方程，求得M，N坐標，$\frac{{|{PM}|}}{{|{PN}|}}=\frac{{|{MN}|}}{{|{PM}|}}$，則$\frac{{{x_P}-{x_M}}}{{{x_P}-{x_N}}}=\frac{{{x_M}-{x_N}}}{{{x_P}-{x_M}}}$，代入即可求得k的值，即可求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）焦點在x軸上，
橢圓E的頂點四邊形的面積為16，由菱形的面積公式可知：2ab=16，①…（1分）
又由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{c^2}={a^2}-{b^2}$，整理得：a=2b，②…（3分）
解①②得：a=4，b=2，
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；…（5分）
（Ⅱ）由題意|PM|²=|PN|•|MN|，故點N在PM的延長線上，
當直線l的斜率不存在時，|PM|²≠|PN|•|MN|，不合題意，…（6分）
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+2，令y=0，得${x_N}=-\frac{2}{k}$，…（7分）
將直線l的方程代入橢圓E的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得：（4k²+1）x²+16kx=0，…（8分）
因為x_P=0，解得：${x_M}=-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}$，…（9分）
由$\frac{{|{PM}|}}{{|{PN}|}}=\frac{{|{MN}|}}{{|{PM}|}}$，則$\frac{{{x_P}-{x_M}}}{{{x_P}-{x_N}}}=\frac{{{x_M}-{x_N}}}{{{x_P}-{x_M}}}$，即$\frac{{\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}{{\frac{2}{k}}}=\frac{{\frac{2}{k}-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}{{\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}$，…（10分）
解得：${k^4}=\frac{1}{80}$，即$k=±\frac{1}{{2\root{4}{5}}}$，…（11分）
∴直線l的方程為$x±2\root{4}{5}（y-2）=0$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查等比數列的性質，考查計算能力，屬于中檔題．