Question

11．已知橢圓C：x²+4y²=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）橢圓C的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在直線x=1上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別與橢圓C相交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線MN與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則a=2，b=1，則c=$\sqrt{3}$，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；
（2）設(shè)P（1，t），由已知條件分別求出M，N的坐標(biāo)，設(shè)定點(diǎn)為Q，再由k_MQ=k_NQ，能證明直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)Q（4，0）．

解答 解：（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
則a=2，b=1，則c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）證明：∵橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線x=1上的動(dòng)點(diǎn)，
∴A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（1，t），
則k_PA=$\frac{t-0}{1+2}$=$\frac{t}{3}$，直線PA：y=$\frac{t}{3}$（x+2），
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{3}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$整理，得（4t²+9）x²+16t²x+16t²-36=0，
-2x_M=$\frac{16{t}^{2}-36}{4{t}^{2}+9}$，則x_M=$\frac{18-8{t}^{2}}{4{t}^{2}+9}$，y_M=$\frac{t}{3}$（x_M+2）=$\frac{12t}{4{t}^{2}+9}$，
則M（$\frac{18-8{t}^{2}}{4{t}^{2}+9}$，$\frac{12t}{4{t}^{2}+9}$），
同理得到N（$\frac{8{t}^{2}-2}{4{t}^{2}+1}$，$\frac{4t}{4{t}^{2}+1}$）…（8分）
由橢圓的對(duì)稱性可知這樣的定點(diǎn)在x軸，
不妨設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為Q（m，0），…10分
又k_MQ=$\frac{\frac{12t}{4{t}^{2}+9}}{\frac{18-8{t}^{2}}{4{t}^{2}+9}-m}$，k_NQ=$\frac{\frac{4t}{4{t}^{2}+1}}{\frac{8{t}^{2}-2}{4{t}^{2}+1}-m}$，
∵k_MQ=k_NQ，
∴（8m-32）t²-6m+24=0，m=4．
∴直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)Q（4，0），
直線MN與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)Q（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．