Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），給出以下四個命題：
①?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）；
②?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$；
③?x₁，x₂∈（0，1），有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
④?x∈（-1，1），|f（x）|≥2|x|．
其中所有真命題的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷出?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x），可判斷①正確；
②x∈（-1，1），由$f'（x）=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{{1-{x^2}}}≥2＞0$，可知f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增，可判斷②正確；
③利用f′（x）=$\frac{2}{1{-x}^{2}}$在（0，1）單調(diào)遞增可判斷③正確；
④構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x，則當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x）=f'（x）-2≥0，⇒g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，再利用g（x）=f（x）-2x為奇函數(shù)，可判斷④正確．

解答 解：對于①，∵f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），且其定義域為（-1，1），
∴f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），
即①?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x），故①是真命題；
對于②，∵x∈（-1，1），由$f'（x）=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{{1-{x^2}}}≥2＞0$，
可知f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增，
即?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，故②是真命題；
對于③，∵f′（x）=$\frac{2}{1{-x}^{2}}$在（0，1）單調(diào)遞增，∴?x₁，x₂∈（0，1），
有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，故③是真命題；
對于④，設(shè)g（x）=f（x）-2x，則當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x）=f'（x）-2≥0，所以g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函數(shù)性質(zhì)可知，?x∈（-1，1），|f（x）|≥2|x|，故④是真命題．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性及“凸凹”性的綜合應(yīng)用，屬于難題．