Question

18．設函數(shù)f（x）=|x-a|+|2x+2|-5（a∈R）．
（Ⅰ）試比較f（-1）與f（a）的大��；
（Ⅱ）當a≥-1時，若函數(shù)f（x）的圖象和x軸圍成一個三角形，則實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）l利用作差法求解f（a）-f（-1）與0的大小關系推出結果．
（II）通過①a=-1時，②當a≥-1時，化簡函數(shù)的表達式，利用第一問的結果轉化求解即可．

解答 解：（I）因為f（a）-f（-1）=|2a+2|-5-（|a+1|-5）=|a+1|≥0，于是f（a）≥f（-1）．
當且僅當a=-1時時等號成立；
（II）①a=-1時，f（x）=3|x+1|-5滿足題意，
②當a≥-1時，$f（x）=|{x-a}|+|{2x+2}|-5=\left\{\begin{array}{l}3x-a-3，x≥a\\ x+a-3，-1≤x＜a\\-3x+a-7，x＜-1\end{array}\right.$
由（I）可知f（a）＞f（-1），此時函數(shù)f（x）的圖象和x軸圍成一個三角形等價于$\left\{\begin{array}{l}f（a）=2a-3≥0\\ f（{-1}）=a-4＜0\end{array}\right.$，解得$a∈[{\frac{3}{2}，4}）$，
綜上知a的取值范圍是$a∈[{\frac{3}{2}，4}）∪\left\{{-1}\right\}$．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，絕對值不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力．