Question

1．已知f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$；g（x）=1-x+$\frac{x^2}{2}$-$\frac{x^3}{3}$+$\frac{x^4}{4}$-…-$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$；設(shè)函數(shù)F（x）=[f（x+3）]²⁰¹⁵•[g（x-4）]²⁰¹⁶，且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 求出f′（x）＞0，得到函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，從而[f（x+3）]²⁰¹⁵在（-4，-3）上有唯一零點(diǎn)；求了g′（x）=-f′（x）＜0，得到g（x）在（1，2）上有唯一零點(diǎn)，從而[g（x-4）]²⁰¹⁶在（5，6）上有唯一零點(diǎn)．由此能求出（b-a）_min．

解答 解：∵f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，
∴f′（x）=（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹⁴
=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹²）+x²⁰¹⁴
當(dāng)x=-1時(shí)，f′（x）=2×1007+1=2015＞0，
當(dāng)x≠-1時(shí)，f′（x）=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹²）+x²⁰¹⁴
=（1-x）•$\frac{1-（{x}^{2}）^{1007}}{1-{x}^{2}}$+x²⁰¹⁴
=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
∴f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$在R上單調(diào)遞增，
∴f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，
∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零點(diǎn)．
∴[f（x+3）]²⁰¹⁵在（-4，-3）上有唯一零點(diǎn)，
∵g（x）=1-x+$\frac{x^2}{2}$-$\frac{x^3}{3}$+$\frac{x^4}{4}$-…-$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，
∴g′（x）=（-1+x）+（-x²+x³）+…-x²⁰¹⁵
=-[（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹⁵]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞減，
又g（1）=1-1$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…-\frac{1}{2015}$＞0，
g（2）=$1-2+\frac{{2}^{2}}{2}-\frac{{2}^{3}}{2}+…+\frac{{2}^{2014}}{2014}-\frac{{2}^{2015}}{2015}$＜0，
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{2}^{n}}{n}-\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$=$\frac{{2}^{n}（1-n）}{n（n+1）}$＜0，
∴g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零點(diǎn)，
由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x-4）在（5，6）上有唯一零點(diǎn)．
∴[g（x-4）]²⁰¹⁶在（5，6）上有唯一零點(diǎn)．
∵F（x）=[f（x+3）]²⁰¹⁵•[g（x-4）]²⁰¹⁶，
∴F（x）的零點(diǎn)即為[f（x+3）]²⁰¹⁵和[g（x-4）]²⁰¹⁶的零點(diǎn)．
∴F（x）的零點(diǎn)區(qū)間為（-4，-3）∪（5，6）．
又b，a∈Z，
∴（b-a）_min=6-（-4）=10．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩數(shù)差的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)、零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．