分析 (1)設出P和Q的坐標,根據(jù)兩點之間的距離公式求解.
(2)根據(jù)正余弦函數(shù)的圖象可知,相鄰的三個交點構成的三角形是一個等腰三角形,其高為$\sqrt{2}$,底邊長為一個周期T=2.可求的三角形的面積;
(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=$\frac{1}{4}$對稱的函數(shù)h(x)圖象,求出解析式,$x∈[-\frac{2}{3},\frac{1}{3}]$時,求出內層函數(shù)的取值范圍,結合三角函數(shù)的圖象和性質,求出f(x)的取值最大和最小值,即得到f(x)的值域.
解答 解:(1)P為函數(shù)f(x)=sinπx的圖象上的一個最高點,Q為函數(shù)g(x)=cosπx的圖象上的一個最低點.
設f(x)最高點坐標為P$(\frac{1}{2}+2{k_1},1){k_1}∈Z$,g(x)最低點坐標為Q(1+2k2,-1)k2∈Z
∴$|{PQ}|=\sqrt{{{[2{{({k_1}-{k_2})}^2}-\frac{1}{2}]}^2}+4}$
當k1-k2=0時|PQ|min=$\frac{{\sqrt{17}}}{2}$.
(2)函數(shù)f(x)=sinπx和函數(shù)g(x)=cosπx的周期T=$\frac{2π}{π}=2$,
其相鄰的三個交點構成一個等腰三角形,其高為$\sqrt{2}$,底邊長為一個周期T=2.
三角形的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$;
(3)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)圖象關于直線x=$\frac{1}{4}$對稱,
設h(x)圖象上的點M(x,h(x)),關于直線x=$\frac{1}{4}$對稱的點N為(x-$\frac{1}{2}$,-h(x)),
N點在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴-h(x)=f(x-$\frac{1}{2}$)=sinπ(x-$\frac{1}{2}$)
∴h(x)=-sin($πx-\frac{π}{2}$)=cosπx
∵$x∈[-\frac{2}{3},\frac{1}{3}]$,
∴πx∈[$-\frac{2π}{3}$,$\frac{π}{3}$]
當$πx=-\frac{2π}{3}$時,函數(shù)h(x)取得最小值為$-\frac{1}{2}$,
當πx=0時,函數(shù)h(x)取得最大值為1.
故得$x∈[-\frac{2}{3},\frac{1}{3}]$時函數(shù)h(x)的值域為 $[-\frac{1}{2},1]$.
點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用,圖象對稱關系的解析式的求法.屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 8 | B. | 9 | C. | 10 | D. | 11 |
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A. | k1<k2<k3 | B. | k3<k2<k1 | C. | k1<k3<k2 | D. | k2<k1<k3 |
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A. | ${(x-2)^2}+{(y+\frac{3}{2})^2}=\frac{25}{4}$ | B. | ${(x-2)^2}+{(y-\frac{3}{2})^2}=\frac{25}{4}$ | ||
C. | ${(x+2)^2}+{(y-\frac{3}{2})^2}=\frac{25}{4}$ | D. | ${(x+2)^2}+{(y+\frac{3}{2})^2}=\frac{25}{4}$ |
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商店名稱 | A | B | C | D | E |
銷售額x(千萬元) | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤額y(百萬元) | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
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