Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

x-1

，給出下列兩個(gè)命題：
①存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＜2；
②若f（a）=f（b）（a≠b），則a+b＞4．
其中判斷正確的是（　　）

• A、①真，②真
• B、①真，②假
• C、①假，②真
• D、①假，②假

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的值

專題：不等式的解法及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由題意，可將函數(shù)變形為f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1?

=

x-1?

+

1

x-1?

，利用基本不等式得出函數(shù)的最小值為2，從而判斷出兩個(gè)命題的真假．

解答：解：①x∈（1，+∞），f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1?

=

x-1?

+

1

x-1?

≥2

x-1? × 1 x-1?

=2，等號當(dāng)且僅當(dāng)

x-1?

=

1

x-1?

，即x=2時(shí)成立，
故存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）＜2不正確；
②由①的判斷知，f（a）=f（b）=2時(shí)，此時(shí)有a=b=2，使得a+b=4，當(dāng)a≠b時(shí)，必有a+b＞4，故②正確
綜上判斷知，①假，②真
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷及利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值或判斷不等關(guān)系是否成立時(shí)要注意等號成立的條件．