Question

9．定義在R上的可導函數f（x），其導函數記為f'（x），滿足f（x）+f（2-x）=（x-1）²，且當x≤1時，恒有f'（x）+2＜x．若$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． $（{-\frac{1}{3}，1}]$
• C． [1，+∞）
• D． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）+2x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，求得g（x）+g（2-x）=3，則g（x）關于（1，3）中心對稱，則g（x）在R上為減函數，再由導數可知g（x）在R上為減函數，化$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$為g（m）≥g（1-m），利用單調性求解．

解答 解：令g（x）=f（x）+2x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
g′（x）=f′（x）+2-x，當x≤1時，恒有f'（x）+2＜x．
∴當x≤1時，g（x）為減函數，
而g（2-x）=f（2-x）+2（2-x）-$\frac{1}{2}（2-x）^{2}$，
∴f（x）+f（2-x）=g（x）-2x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$+g（2-x）-2（2-x）+$\frac{1}{2}（2-x）^{2}$
=g（x）+g（2-x）+x²-2x-2=x²-2x+1．
∴g（x）+g（2-x）=3．
則g（x）關于（1，$\frac{3}{2}$）中心對稱，則g（x）在R上為減函數，
由$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$，得f（m）+2m$-\frac{1}{2}{m}^{2}$≥f（1-m）+2（1-m）-$\frac{1}{2}（1-m）^{2}$，
即g（m）≥g（1-m），
∴m≤1-m，即m$≤\frac{1}{2}$．
∴實數m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故選：D．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，構造函數是解答該題的關鍵，是壓軸題．