Question

15．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外的一點(diǎn)，則下列條件中，能得到P∈平面ABC的是（　�。�

• A． $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$
• B． $\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$
• C． $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
• D． $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由空間向量基本定理可得：P∈平面ABC的充要條件是存在實(shí)數(shù)α、β、γ，使得$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$成立，且α+β+γ=1，實(shí)數(shù)α、β、γ有且僅有1組；據(jù)此依次分析選項(xiàng)，驗(yàn)證α+β+γ=1是否成立，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外的一點(diǎn)，
若P∈平面ABC，則存在實(shí)數(shù)α、β、γ，使得$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$成立，且α+β+γ=1，實(shí)數(shù)α、β、γ有且僅有1組；
據(jù)此分析選項(xiàng)：
對(duì)于A：$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$中，$\frac{1}{3}$+（-$\frac{2}{3}$）+$\frac{1}{3}$=0≠1，不滿足題意；
對(duì)于B：$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$中，$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$+（-1）≠1，滿足題意；
對(duì)于C：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$中，1+1+1=3≠1，不滿足題意；
對(duì)于D：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$中，1+（-1）+（-1）=-1≠1，不滿足題意；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量的共線與共面的判斷，關(guān)鍵是掌握空間向量共面的判斷方法．