Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2klnx（k＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)k=4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）定義域是（0，+∞），${f}^{'}（x）=2x-\frac{8}{x}=\frac{2{x}^{2}-8}{x}$，令f′（x）=0，得x=1或x=-2（舍），列表討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（Ⅱ）f（x）的最小值為f（$\sqrt{k}$）=k-klnk，若函數(shù)有零點，則有f（$\sqrt{k}$）≤0，解得k≥e，此時函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上有一個零點，當(dāng)k＜e時，函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上沒有零點．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-2klnx（k＞0），
∴f（x）定義域是（0，+∞），${f}^{'}（x）=2x-\frac{8}{x}=\frac{2{x}^{2}-8}{x}$，
令f′（x）=0，得x=1或x=-2（舍），列表如下：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞），
函數(shù)在x=2處取得極小值f（2）=4-8ln2，無極大值．
（Ⅱ）由（1）知f（x）的最小值為f（$\sqrt{k}$）=k-klnk，
若函數(shù)有零點，則有f（$\sqrt{k}$）≤0，解得k≥e，
當(dāng)k≥e時，函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上單調(diào)遞減，
又f（1）=1＞0，f（$\sqrt{e}$）=e-k≤0，
∴函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上有一個零點，
當(dāng)k＜e時，函數(shù)f（x）的最小值為正數(shù)，∴函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上沒有零點．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的零點個數(shù)的討論，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．