Question

19．已知函數(shù)f（x）滿足$f（x）=\sqrt{\frac{kx-1}{x-1}}$，（k＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過k=1時(shí)，k＞1時(shí)，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，分別求解函數(shù)f（x）的定義域．
（2）化簡函數(shù)的解析式，f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)只需$g（x）=k+\frac{k-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）遞增，且非負(fù)，轉(zhuǎn)化即當(dāng)x₁＞x₂≥10時(shí)，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（x{\;}_2-{x_1}）（k-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}＞0$恒成立．轉(zhuǎn)化不等式求解即可．

解答 （12分）
解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x≠1}；
當(dāng)k＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?\left\{{\left.x\right|x≤\frac{1}{k}或x＞1}\right\}$；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?\left\{{\left.x\right|x＜1或x≥\frac{1}{k}}\right\}$（6分）

（2）$f（x）=\sqrt{\frac{kx-1}{x-1}}=\sqrt{k+\frac{k-1}{x-1}}$，
∴f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，只需$g（x）=k+\frac{k-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）遞增，且非負(fù)．
即當(dāng)x₁＞x₂≥10時(shí)，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（x{\;}_2-{x_1}）（k-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}＞0$恒成立．
而x₂-x₁＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴k-1＜0即可，
又∵g（x）≥0在區(qū)間[10，+∞）只需g（10）≥0，
∴$k≥\frac{1}{10}$．
綜上  $\frac{1}{10}≤k＜1$（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的定義域以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．