Question

11．已知兩曲線f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax與g（x）=2a²lnx+b有公共點，且在該點處有相同的切線，則a∈（0，+∞）時，實數(shù)b的最大值是（　�。�

• A． e${\;}^{\frac{1}{2}}$
• B． 2e${\;}^{\frac{1}{2}}$
• C． e${\;}^{\frac{2}{3}}$
• D． $\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 求出f（x），g（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，解得切點的橫坐標，利用a的表達式來表示b，然后利用導數(shù)來研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值即得．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax與g（x）=2a²lnx+b，
設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同、
f′（x）=x+a，g′（x）=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，
由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即$\frac{1}{2}$x₀²+ax₀=2a²lnx₀+b，x₀+a=$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$，
得x₀=a或x₀=-2a（舍去），
即有b=$\frac{1}{2}$a²+a²-2a²lna=$\frac{3}{2}$a²-2a²lna．
令h（t）=$\frac{3}{2}$t²-2t²lnt（t＞0），
則h′（t）=t（1-4lnt）、
于是當t（1-4lnt）＞0，即0＜t＜e${\;}^{\frac{1}{4}}$時，h′（t）＞0；
當t（1-4lnt）＜0，即t＞e${\;}^{\frac{1}{4}}$時，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e ${\;}^{\frac{1}{4}}$）為增函數(shù)，在（e${\;}^{\frac{1}{4}}$，+∞）為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e${\;}^{\frac{1}{4}}$）=$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{1}{2}}$-2e${\;}^{\frac{1}{2}}$•$\frac{1}{4}$=e${\;}^{\frac{1}{2}}$，
故b的最大值為e${\;}^{\frac{1}{2}}$．
故選：A．

點評 本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．