已知橢圓的右焦點(diǎn)為,為上頂點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若△的面積為,且橢圓的離心率為
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線交橢圓于兩點(diǎn), 且使點(diǎn)為△的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(1);(2)存在直線,且直線的方程為

解析試題分析:(1)由題意可得的兩個(gè)關(guān)系式即,解之即可得橢圓的方程;(2)先假設(shè)存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且橢圓的右焦點(diǎn)恰為的垂心.設(shè)出坐標(biāo),由(1)中所求橢圓方程,可得點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)恰為的垂心,則,就可得到含,,的等式,再設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,求,,,均用含的式子表示,再代入上面所求等式中,求,若能求出,則存在直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且橢圓的右焦點(diǎn)恰為的垂心,若求不出,則不存在直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且橢圓的右焦點(diǎn)恰為的垂心.
試題解析:(1)由題意可得,解得,,故橢圓方程為.     
(2)假設(shè)存在直線交橢圓于,兩點(diǎn),且為△的垂心,設(shè),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/38/b/nqbiv1.png" style="vertical-align:middle;" />,,故.于是設(shè)直線的方程為,

,得, 且,.     
由題意應(yīng)有,又,
,得
.     
整理得
解得.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),△不存在,故舍去
當(dāng)時(shí),所求直線存在,且直線的方程為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為,且||=2,
點(diǎn)(1,)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的面積為,求以為圓心且與直線相切圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,-1)和拋物線.,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.
(1)證明: 為定值;
(2)若△POM的面積為,求向量的夾角;
(3)證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的方程為,直線l過定點(diǎn),斜率為k.當(dāng)k為何值時(shí),直線l與該拋物線:只有一個(gè)公共點(diǎn);有兩個(gè)公共點(diǎn);沒有公共點(diǎn)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上.
(1)若橢圓的焦距為1,求橢圓的方程;
(2)設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線軸與點(diǎn),并且,證明:當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)在某定直線上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知定點(diǎn)A(1,0),B (2,0) .動(dòng)點(diǎn)M滿足
(1)求點(diǎn)M的軌跡C;
(2)若過點(diǎn)B的直線l(斜率不等于零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F
(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2,1),且與軸交于點(diǎn)A,定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0) .

(1)若動(dòng)點(diǎn)M滿足,求點(diǎn)M的軌跡C;
(2)若過點(diǎn)B的直線l(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1,記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡為的方程;
(2)設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn),求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn),兩個(gè)公共點(diǎn),三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

斜率為的直線與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為

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同步練習(xí)冊(cè)答案