Question

已知函數f（x）=log₃（x²+ax+a+5）
（1）當a=-3時，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合函數的單調性,對數函數的定義域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=-3時，令對數的真數x²+3x+8＞0，求得x的范圍，可得函數的定義域．
（2）由題意可得，函數t=x²+ax+a+5在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數且真數t＞0，可得-

a

2

≥1且1+a+a+5≥0，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）當a=-3時，f（x）=log₃（x²-3x+2），令對數的真數x²+3x+8=（x-1）（x-2）＞0，
求得x＜1，或x＞2，故函數的定義域為（-∞，1）∪（2，+∞）．
（2）∵f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數，∴函數t=x²+ax+a+5在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數且真數t＞0，
∴-

a

2

≥1且1+a+a+5≥0，求得-3≤a≤-2．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，對數函數、二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．