Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）在橢圓E上，射線AO與橢圓E的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)P（-4t，t）在橢圓E內(nèi)部，射線AP、BP與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為C，D．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：直線CD的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A代入橢圓方程，e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，聯(lián)立求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得B點(diǎn)坐標(biāo)，$\overrightarrow{AP}$=${λ}_{1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ}_{2}\overrightarrow{PD}$，求得x₁和y₁，代入橢圓方程，求得$（{λ}_{1}+1）•18{t}^{2}={λ}_{1}-1$，同理求得（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，兩式相減求得λ₁=λ₂，因此可證明CD∥AB，進(jìn)一步求出直線AB的斜率，則結(jié)論可證．

解答 （1）解：將點(diǎn)A代入橢圓方程得：$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{^{2}}=1$，且e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：a²=1，$^{2}=\frac{1}{2}$，
∴橢圓E的方程為：x²+2y²=1；
（2）證明：∵A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴B（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），$\overrightarrow{AP}$=${λ}_{1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ}_{2}\overrightarrow{PD}$，其中：λ₁，λ₂∈（0，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{（{λ}_{1}+1）（-4t）-\frac{1}{3}}{{λ}_{1}}}\\{{y}_{1}=\frac{（{λ}_{1}+1）t-\frac{2}{3}}{{λ}_{1}}}\end{array}\right.$，代入橢圓方程并整理得，$（{λ}_{1}+1）•18{t}^{2}={λ}_{1}-1$，
同理得，（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，
兩式相減得：（λ₁-λ₂）•（18t²-1）=0．
∵點(diǎn)P（-4t，t）在橢圓E內(nèi)部，
∴18t²＜1，
∴λ₁=λ₂，
∴CD∥AB．
又${k}_{AB}=\frac{-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}=2$．
∴直線CD的斜率為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的方程，利用向量共線定理證明兩直線平行，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，考查綜合分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．