Question

5．如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，2AE=BD=2．
（Ⅰ）若F是線段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC；
（Ⅱ）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中點(diǎn)G，連接FG，AG，推導(dǎo)出AG⊥面DBC，AGFE為平行四邊形，由此能證明EF⊥面DBC．
（Ⅱ）連接BF，過(guò)F在面DEC內(nèi)作EC的垂線，垂足為H，連接HB，則∠FHB為二面角D-EC-B的平面角，由此能求出二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)G，連接FG，AG，
∵AG⊥BC，AG⊥BD，BD∩BC=B，
∴AG⊥面DBC，
又∵AE∥BD∥FG，AE=FG，
∴AGFE為平行四邊形，
∴EF∥AG，∴EF⊥面DBC．------------（6分）
解：（Ⅱ）連接BF，過(guò)F在面DEC內(nèi)作EC的垂線，垂足為H
連接HB．∵EF⊥面DBC，∴BF⊥EF，
又∵BC=BD，∴BF⊥CD，∴BF⊥面EDC，
∴∠FHB為二面角D-EC-B的平面角，
在△DEC中，∵$EC=ED=\sqrt{5}$$CD=2\sqrt{2}$，∴$FH=\sqrt{\frac{6}{5}}$，
在直角△BFH中，$FH=\sqrt{\frac{6}{5}}$，$BF=\sqrt{2}$，$BH=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，
∴cos∠FHB=$\frac{FH}{BH}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角D-EC-B的平面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．----------（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．