Question

2．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）的左右焦點，M是C上一點且MF₂與x軸垂直，直線MF₁與C的另一個交點為N．
（1）若直線MN的斜率為$\frac{3}{4}$，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F₁N|，求橢圓標準方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）焦點在x軸上，MF₂為橢圓通徑的一半，即$\frac{1}{2}$×$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{^{2}}{a}$，M點坐標為（c，$\frac{^{2}}{a}$），k_MN=${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{c+c}$=$\frac{3}{4}$，即2b²=3ac，整理得：2c²+3ac-2a²=0，兩邊同時除以a²，2e²+3e-2=0，解得：e=$\frac{1}{2}$，e=-2，由0＜e＜1，即可求得C的離心率；
（2）設(shè)直線MN與y軸交點為D（0，2），過N作NE⊥y軸，MF₂∥y軸，在△MF₁F₂中，OD為△MF₁F₂的中位線，求得b²=4a，由|MN|=5|F₁N|，丨DF₁丨=2丨F₁N丨，由△DF₁O∽△DNE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得N點坐標，代入橢圓方程，由c²=a²-b²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程．

解答 解：（1）依題意，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）焦點在x軸上，MF₂為橢圓通徑的一半，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{^{2}}{a}$，
∴M點坐標為（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由F₁（-c，0），依題意有k_MN=${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{c+c}$=$\frac{3}{4}$，即2b²=3ac，…3分
由b²=a²-c²，
∴2c²+3ac-2a²=0，兩邊同時除以a²，
整理得：2e²+3e-2=0，解得：e=$\frac{1}{2}$，e=-2，
由0＜e＜1，
∴e=-2（舍），
故橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$；…5分
（2）設(shè)直線MN與y軸交點為D（0，2），過N作NE⊥y軸，
依題意，原點O為F₁F₂的中點，
∴MF₂∥y軸，
∴在△MF₁F₂中，OD為△MF₁F₂的中位線，
∵D（0，2），
∴$\frac{^{2}}{a}$=4，即b²=4a①…7分
設(shè)N（x₁，y₁），由題意可知：x₁＜0，y₁＜0，
由|MN|=5|F₁N|，
∴丨DF₁丨=2丨F₁N丨，
∵△DF₁O∽△DNE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-c}{-{x}_{1}}=\frac{2}{3}}\\{\frac{-{y}_{1}}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{3}{2}c}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，…9分
代入C的方程，得$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$②，…10分
由c²=a²-b²③，
將①③代入②中得：$\frac{9（{a}^{2}-4a）}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4a}=1$，解得：a=7，
b²=4a=28，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{49}+\frac{{y}^{2}}{28}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查相似三角形的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計算能力，屬于中檔題．