Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)在

圓：上.

（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；

（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，與圓交于另一點(diǎn).請(qǐng)判斷是否存在斜率不為0的直線，使點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得，                         -

         又由題意可得，

所以，                               -

         所以,                      

         所以橢圓的方程為.            

         所以橢圓的右頂點(diǎn)，                          代入圓的方程，可得,

         所以圓的方程為.            

（Ⅱ）法1：

假設(shè)存在直線:滿足條件，  

      由得-

      設(shè)，則,              

      可得中點(diǎn)，                -

      由點(diǎn)在圓上可得

         化簡(jiǎn)整理得                         

         又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/01/14/2014040114113033596289.files/image205.gif'>，

         所以不存在滿足條件的直線.                

（Ⅱ）法2：

假設(shè)存在直線滿足題意.

由（Ⅰ）可得是圓的直徑，             

      所以.                                -

      由點(diǎn)是中點(diǎn)，可得.        

      設(shè)點(diǎn)，則由題意可得.     

         又因?yàn)橹本�的斜率不為0，所以,        -

      所以,-

         這與矛盾，所以不存在滿足條件的直線.