Question

6．已知函數(shù)f（x）=1nx-a（x-1）²的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是f′（x）=0的根，代入方程求出a的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²-x+1＜0在（1，+∞）恒成立，令g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²-x+1，x＞1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＞g（1）即可．

解答 解：（1）∵f（x）=1nx-a（x-1）²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2a（x-1），
∴x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是f′（x）=0的根，
∴$\frac{2}{1+\sqrt{5}}-2a（\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1）=0$，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
證明：（2）由（1）得：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²，
當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1，
即lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²-x+1＜0在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²-x+1，x＞1，
g′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$＜0，（x＞1），
∴g（x）在（1，+∞）遞減，
∴g（x）＞g（1）=0，
故當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1成立．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．