Question

11．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=r（r＞0）．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，并討論兩曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若b＜r＜a，求由兩曲線C₁與C₂交點(diǎn)圍成的四邊形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）方程化為普通方程，即可討論兩曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若b＜r＜a，兩曲線均關(guān)于x，y軸、原點(diǎn)對稱，四邊形也關(guān)于x，y軸、原點(diǎn)對稱，即可求由兩曲線C₁與C₂交點(diǎn)圍成的四邊形面積的最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ為參數(shù)），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=r（r＞0），直角坐標(biāo)方程為x²+y²=r²，
r=a或b時(shí)，兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
b＜r＜a時(shí)，兩曲線有四個(gè)公共點(diǎn)；
0＜r＜b或r＞a時(shí)，兩曲線無公共點(diǎn)；
（2）兩曲線均關(guān)于x，y軸、原點(diǎn)對稱，
∴四邊形也關(guān)于x，y軸、原點(diǎn)對稱，
設(shè)四邊形位于第一象限的點(diǎn)為（acosθ，bsinθ），
則四邊形的面積為S=4acosθ•bsinθ=2absin2θ≤2ab，
當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1，即θ=45°時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．