Question

7．如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，BD=4$\sqrt{2}$，E為PD的中點．
（1）求證：BD⊥面PAC；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明BD⊥面PAC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，
∴AC⊥BD，PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥面PAC．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA=AD=4，BD=4$\sqrt{2}$，E為PD的中點，
∴A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），E（0，2，2），C（4，4，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，2，2），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，0），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=4x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角E-AC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角E-AC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．