【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不是橢圓的頂點(diǎn)),點(diǎn)在橢圓上,且,直線軸分別交于兩點(diǎn).

①設(shè)直線斜率分別為,證明存在常數(shù)使得,并求出的值;

②求面積的最大值.

【答案】(1).

(2) ①證明見解析,;②.

【解析】試題分析:(1)首先由題意得到,即.

代入可得,

,可得.得解.

2)()注意從確定的表達(dá)式入手,探求使成立的.

設(shè),則,

得到,

根據(jù)直線BD的方程為

,得,即.得到.

,作出結(jié)論.

)直線BD的方程,

從確定的面積表達(dá)式入手,應(yīng)用基本不等式得解.

試題解析:(1)由題意知,可得.

橢圓C的方程可化簡(jiǎn)為.

代入可得,

因此,可得.

因此,

所以橢圓C的方程為.

2)()設(shè),則,

因?yàn)橹本AB的斜率,

,所以直線AD的斜率

設(shè)直線AD的方程為,

由題意知

,可得.

所以,

因此

由題意知,

所以,

所以直線BD的方程為

,得,即.

可得.

所以,即.

因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.

)直線BD的方程,

,得,即,

由()知

可得的面積,

因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

此時(shí)S取得最大值,

所以的面積的最大值為.

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