Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-c-lnx（x＞0）在x=1處取極值，其中a，b為常數(shù)．
（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取極值-1-c，且不等式f（x）≥-2c²恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）若a＞0，且函數(shù)f（x）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x₁，x₂，證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由f′（1）=0，求得b=1-2a，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知：求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，則f（x）≥-2c²恒成立，2c²-1-c≥0，即可求得實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）由（1）可知，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）＞f（2-x），由x₁∈（0，1），則f（x₁）＞f（2-x₁），則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即可求得x₁+x₂＞2．

解答 解：（1）f（x）=ax²+bx-c-lnx（x＞0），求導(dǎo)f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
由函數(shù)在x=1處取極值，則f′（1）=2a+b-1=0，則b=1-2a，
f′（x）=2ax+1-2a-$\frac{1}{x}$=（x-1）（$\frac{1}{x}$+2a），（x＞0），
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1}{x}$+2a＞0，x∈（0，1），f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（0，1]；
（2）由（1）可知：f（x）=ax²+（1-2a）-c-lnx，由函數(shù)f（x）在x=1處取極值，-1-c，
∴f（1）=-a+1-c=-1-c，可得：a=2，
∵a＞0，由（1）可知函數(shù)f（x）區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=-1-c，
由f（x）≥-2c²恒成立，則-1-c≥-2c²，解得：c≥1或c≤-$\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞），
（3）證明：由（1）可知：f（x）=ax²+（1-2a）-c-lnx，
函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，在（0，1]遞減區(qū)間，
且f（x₁）=f（x₂）=0，
∴不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-f（2-x），x₁∈（0，1），
則h（x）=2x-2+ln（2-x）-lnx，
求導(dǎo)h′（x）=2+$\frac{1}{2-x}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x-1）^{2}}{x（2-x）}$＜0，
∴h（x）在（0，1）單調(diào)遞減，
∴x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，
∴f（x）＞f（2-x），由x₁∈（0，1），則f（x₁）＞f（2-x₁），
由f（x₁）=f（x₂）=0，
∴f（x₂）＞f（2-x₁），而2-x₁，x₂∈（1，+∞），
函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x₁+x₂＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．