Question

16．已知雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點到漸近線的距離為$\sqrt{2}$，并且以橢圓$\frac{x^2}{11}+\frac{y^2}{7}=1$的焦點為頂點．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標(biāo)，可得雙曲線的頂點坐標(biāo)，利用雙曲線的焦點到漸近線的距離為$\sqrt{2}$，求出b，可得a，即可求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{11}+\frac{y^2}{7}=1$的焦點坐標(biāo)為（±2，0），為雙曲線的頂點，
雙曲線的焦點到漸近線的距離為$\sqrt{2}$，∴$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題給出雙曲線滿足的基本條件，求雙曲線方程．著重考查了雙曲線的基本概念和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．