Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到曲線C₂，將曲線C₁向上平移一個(gè)單位得到曲線C₃，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C₂的普通方程及曲線C₃的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是曲線C₂上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是曲線C₃上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)曲線C₂上的任意一點(diǎn)（x，y），則$（\frac{x}{2}，y）$在曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）上，代入即可得出曲線C₂的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得普通方程．同理可得：將曲線C₃的參數(shù)方向與普通方程．利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可得出曲線C₃的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），C（0，1），利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得：|PC|²=$-3（sinθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{16}{3}$，再利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)曲線C₂上的任意一點(diǎn)（x，y），則$（\frac{x}{2}，y）$在曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$為曲線C₂的參數(shù)方程，可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
同理可得：將曲線C₁向上平移一個(gè)單位得到曲線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$，
化為普通方程：x²+（y-1）²=1．
可得曲線C₃的極坐標(biāo)方程為：ρ²-2ρsinθ=0，化為ρ=2sinθ．
（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），C（0，1），
則|PC|²=（2cosθ）²+（sinθ-1）²=4cos²θ+sin²θ-2sinθ+1=$-3（sinθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{16}{3}$，
∴當(dāng)sin$θ=-\frac{1}{3}$時(shí)，$|PC{|}_{max}^{2}$=$\frac{16}{3}$．
∴PQ的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、坐標(biāo)變換、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．